【連続投稿38日目 1678投稿目】
【作成日時：8/25 14:36～15:27、51分】
【らくだプリント 中2－13、20（続き）】
この連立方程式は最低でも２枚は取り組んでいるようにしています。
１枚目はそれぞれのプリントで想定されている基本のやり方に沿ってやっています。
一方で２枚目は１枚目より早くやれるようにするということも狙ってはいるのですが、手段を選ばず解いています。
たとえば13番のプリントで次のような問題がありました。
この問題の解き方については基本のやり方なのですが、その次の問題は
というように途中式なしで瞬間的に答えを出しました。
なぜ瞬時に出せたかというと、問題の式に注目してもらいたいです。
２つの問題の式が非常に似ていませんか？
違う部分は１つ目の式の「３ｙ」と２つ目の式の「６ｙ」についている符号が異なるだけで、それ以外はすべて同じです。
このように２つの式ともｙの項についている符号が異なる場合、実は方程式の解はｘは同じで、ｙは符号が逆になるだけなのです。
このようになる説明をするには写像という高校数学以降でやる話になるのですが、そこまでいかなくても感覚的には分かるものです。
といってもそのためには「連立方程式＝２つのグラフ」ということを連想することが必要となります。
ですがそれさえ考えていればあとは感覚的につかむことができたりします。
例えば 17) の上の方の式でｘに３、ｙに２を当てはめるとこの方程式は
となり成り立ちます。
これはつまり７ｘ＋３ｙ＝27というグラフは（３,２）という座標を通ることとなります。
一方で 18) の上の方の式ではｘに３、ｙに－２を当てはめれば
となり成り立ちます。
つまり７ｘ－３ｙ＝27というグラフは（３,－２）という座標を通ることとなります。
すると今考えた２つの点は軸を対象に上下反対となっていることが分かるでしょうか？
そしてほかの点について、そして下の方の式同士でも同様なことになります。
すると、上の問題と下の問題はグラフで考えた時に全体が上下逆転することになります。
実線が上の問題、点線が下の問題となっていて、赤が各問題の上の方の式、青が下の方の式です。
17) でできていた連立方程式の解である交点の位置も 18) では上下逆転することになるのです。
ですから 18) の方は連立方程式を改めて解くまでもないのです。
ここまで長く書きましたが、思いつくのに必要なことは「連立方程式＝２つのグラフ」と試しに座標を出してみることの２つだけです。
もっとも問題の式を観察して形が似ていると気づくことありき、ではあります。
それから20番のプリントではこのようなことがありました。
基本のやり方では元の数もかける数も大きくて、計算する数が大きくなり大変になります。
ここまでくるとさすがに僕も式をいつもより１つ増やすことになります。
それに対してこのプリントを取り組んだ３枚目では
というようにやりました。
「ｘ＋ｙ＝－11」という、いわば第３の式をつくり出したことが分かりますか？
１つ目のやり方では３ケタの数が出てきたのに対してこちらは２ケタで収まっています。
このやり方は遠回りではあるのですが、僕としてはこちらの方がミスせず安心してやることができます。
このやり方も専門的にいえば「ユークリッドの互除法」と呼ばれる大学の整数論を踏まえたものです。
ですがそこまで知らなくても、連立方程式を解くにあたって２つの式を足したり引いたりしていました。
そのことに目を向ければこのようなやり方ができるはずということが分かるのです。
５日前の投稿でもいろんな解き方ができることに触れました。
itasan-kibunyasan.hatenablog.com
この投稿では、そのためには固定観念を拭い去ることといいました。
それに加えて、与えられた式からグラフや第３の式などを創り出すことがいろんな解き方ができることにつながるでしょう。
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