【連続投稿21日目 2060投稿目】
【作成日時：9/16 17:35～18:20、18:55～19:22、72分】
【らくだプリント 高－111～112】
三角比の方程式に入りました。
101番でも度数法での三角比の方程式はあったのですが、それほどしっかりと扱われたわけではありませんでした。
今回はしっかりと三角比の方程式を解くというプリントとなっています。
そして
といったようにsin・cos・tanについている角度にあたる部分が単純にｘとなっているわけではないものも出てきています。
それによって最初に与えられたｘの条件を問題に合わせて捉え直す必要も出てきます。
一番上の問題は－π＜ｘ＜πとなっているわけですが、問題では”２ｘ”ということになっているので－２π＜２ｘ＜２πとみなして考えることになります。
この場合でいうと簡単にいえば、もともとは１周分の角の範囲で考えるものだったのが２周分で考えるということになりました。
すると解の個数も多くなるのです。
このように問題に合わせて範囲を捉え直すとこんがらがってくることもあるものです。
３つ目の場合なんかはまさに起こりやすいでしょう。
そういったような時に安心できるポイントとなるのが解の個数がおかしくないかどうかにあると思うのです。
分かりやすく１周分の範囲 ０ ≦ ｘ＜２πにおけるsin x とsin 2x とsin(2x+π/3)の３つを考えてみようと思います。
まずsin x というものについてですが、グラフを通して考えてみると一目瞭然ですが、 ０ ≦ ｘ＜２πにおいて値が±１の時は１点だけ、それ以外のところではいずれにしても上がって下がって（あるいは下がって上がって）ということで２点あることになります。
（２πは範囲に含まれないので０となる時もｘが０とπの２点のみです）
次にsin 2x を考えてみます。
上の問題の解き方としては範囲の捉え方を変えましたが、問題の本質としては範囲が変わるわけではなくsin 2x というグラフが与えられた値を取るのはどこかという話です。
そして”２ｘ”となることでグラフがどのように変わるかというと周期が縮まることになります。
sin x では０から2πで１周となっていたのに対して、sin 2x では０からπで１周となり２πまでにはさらに１周して２周となります。
すると２周したということでsin 2x の解の個数もsin x と比べて２倍となるわけです。
このことが分かると、たとえばsin 2x の解の個数がsin x の場合の個数と変わらなかったとなれば何かを見落としていると思えるわけです。
さらに細かいことをいうと、解と解の距離も規則的です。
sin 2x =1/2 という方程式の解は順にｘ＝(1/12)π、(5/12)π、(13/12)π、(17/12)πの４つとなります。
このうち(1/12)πと(13/12)π、(5/12)πと(17/12)πはそれぞれ、円をぐるぐると２周したものなので値こそちがうものの位置としては同じです。
そしてそれが1/12から13/12、5/12から17/12と１足したものという関係になっています。
これほどのことが分かると、１周分を見つけてしまえば芋づる式に２周目分を導き出せるわけです。
そして３つ目のsin(2x+π/3)については、これはsin 2x が横にスライドしただけなので解の個数自体はsin 2x と同じなのです。
言葉で説明すると長くなってしまいましたが、これは実際に繰り返し解いてみるといつの日か感覚的に分かってくるようなことでしょう。
それをこうして気づくことで、ややこしいことでも規則性があると気づくとミスを減らすことができるようになっていくものです。
---------------------------
今後のイベント予定
9/27（土）13:30~17:30 インタビューゲーム会 @寺子屋塾
☆定点観測を一緒に取り組みたい人、随時募集中です(^ ^) 定点観測についてはこちらをどうぞ！
